Bibliographie p. [231]-232. Index

Cet ouvrage présente, sans autre connaissance préalable pour le lecteur qu'une certaine familiarité avec l'analyse mathématique, l'essentiel de la théorie de la mesure et l'intégration. Il conviendra donc aux étudiants de niveau universitaire de licence, tant en mathématiques qu'en statistique, ainsi qu'aux futurs ingénieurs. Après quelques rappels sur l'intégrale de Riemann, on y expose la théorie de la mesure et de l'intégrale de Lebesgue. Pour des motifs pédagogiques, la théorie est d'abord développée sur l'axe réel puis généralisée à des espaces plus abstraits. On y traite d'ensembles et de fonctions mesurables, de mesures positives et signées, d'intégration, de construction de mesure (en particulier, celles de Lebesgue-Stieltjes), des divers modes de convergence, des espaces de Lebesgue, des mesures produit et du théorème de Fubini (avec la formule de changements de variables dans les intégrales multiples), des fonctions à variation bornée ou absolument continues et on conclut en présentant des applications à l'analyse de Fourier. Le ton est informel mais le traitement est mathématiquement rigoureux. De nombreux exercices, accompagnés de leur solution, permettront au lecteur de bien assimiler le sujet. [4ème de couverture]

P. 7 1 Introduction P. 7 1.1 Théorie P. 9 1.2 Exercices P. 11 2 Parties mesurables de R P. 11 2.1 Mesure extérieure P. 14 2.2 Ensembles mesurables P. 19 2.3 Mesure P. 21 2.4 Exercices P. 25 3 Fonctions mesurables de R vers R P. 25 3.1 Théorie P. 30 3.2 Exercices P. 31 4 Intégration sur R P. 31 4.1 Théorie P. 43 4.2 Exercices P. 47 5 Mesure et intégration abstraites P. 47 5.1 Ensembles mesurables P. 49 5.2 Fonctions mesurables P. 55 5.3 Mesures positives P. 59 5.4 Intégration P. 69 5.5 Exercices P. 75 6 Construction de mesures P. 75 6.1 Théorie P. 85 6.2 Exercices P. 87 7 Convergence en mesure P. 87 7.1 Théorie P. 95 7.2 Exercices P. 97 8 Espaces de Lebesgue P. 97 8.1 Théorie P. 104 8.2 Exercices P. 109 9 Dérivation P. 109 9.1 Fonctions à variation bornée P. 118 9.2 Fonctions absolument continues P. 123 9.3 Exercices P. 127 10 Mesures signées P. 127 10.1 Théorie P. 140 10.2 Exercices P. 143 11 Mesures produits P. 143 11.1 Théorie P. 156 11.2 Exercices P. 159 12 Applications P. 159 12.1 Série de Fourier P. 168 12.2 Transformée de Fourier P. 179 12.3 Exercices P. 181 13 Solution des exercices P. 181 13.1 Introduction P. 182 13.2 Parties mesurables de R P. 187 13.3 Fonctions mesurables de R vers R P. 189 13.4 Intégration sur R P. 195 13.5 Mesure et intégration abstraites P. 201 13.6 Construction de mesures P. 204 13.7 Convergence en mesure P. 206 13.8 Espaces de Lebesgue P. 210 13.9 Dérivation P. 219 13.10 Mesures signées P. 221 13.11 Mesures produits P. 225 13.12 Applications P. 231 Bibliographie P. 233 Index