Cours et exercices corrigés.

Bibliographie p. 269-270. Index

Cet ouvrage s'adresse aux élèves ingénieurs et aux étudiants des licences ou masters de physique et de mathématiques appliquées. L'étude mathématique des systèmes dynamiques à temps continu débouche sur des applications variées en mécanique, en physique, en astronomie voire en économie. Cet ouvrage présente les notions fondamentales de la dynamique des systèmes : systèmes différentiels, état, flot, équilibres, portraits de phases, bifurcations locales, systèmes à temps discret, introduction au chaos. Les systèmes linéaires sont présentés de façon détaillée et les phénomènes spécifiquement non-linéaires sont décrits. Le sujet est traité avec la rigueur mathématique qui s'impose mais dans le langage le plus concret possible, au plus proche des applications et de nombreux exemples illustrent les notions théoriques. Cet ouvrage comporte 50 exercices et problèmes qui sont tous corrigés en fin d'ouvrage. Cette deuxième édition accorde un place plus large aux systèmes à temps discret. Elle approfondit certains thèmes dont la suite logistique qui est une introduction efficace au chaos en temps discret. Enfin elle comporte 15 nouveaux exercices et problèmes par rapport à la première édition. 4e de couverture

Licence et master, écoles d'ingénieurs

P. VII Avant-propos P. 1 Chapitre 1. Généralités sur les systèmes différentiels P. 1 1.1 Introduction P. 7 1.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz P. 14 1.3 Symétries orbitales P. 17 Chapitre 2. Flot et conjugaison en temps continu P. 17 2.1 Flot d'un système dynamique P. 21 2.2 Conjugaison des systèmes dynamiques P. 30 2.3 Quelques propriétés générales du flot P. 33 Chapitre 3. Équilibres P. 33 3.1 Introduction P. 33 3.2 Stabilité des équilibres : exemple et définitions P. 40 3.3 Autres notions P. 43 Chapitre 4. Stabilité des systèmes linéaires P. 43 4.1 Réduction des endomorphismes P. 44 4.2 Flot et stabilité des systèmes linéaires P. 52 4.3 Stabilité structurelle et conjugaison P. 56 4.4 Trajectoires génératrices d'un système linaire P. 65 Chapitre 5. Propriétés élémentaires en dimensions 1 et 2 P. 65 5.1 Propriétés de base des systèmes de dimension 1 P. 66 5.2 Portraits de phases d'un système linéaire de dimension 2 P. 69 5.3 Courbure d'une trajectoire plane P. 71 5.4 Critère de Bendixson P. 73 5.5 Évolution d'un portrait de phases P. 79 Chapitre 6. Propriétés locales du flot P. 79 6.1 Introduction P. 79 6.2 Généralités et exemples P. 83 6.3 Théorie de Liapounov de la stabilité P. 88 6.4 Linéarisation autour des équilibres P. 90 6.5 Linéarisation autour des équilibres hyperboliques P. 97 Chapitre 7. Structuration du flot P. 98 7.1 Ensembles-limites P. 104 7.2 Orbites périodiques P. 107 7.3 Variétés remarquables P. 113 Chapitre 8. Flots hors de Rn P. 113 8.1 Dérivation hors de Rn P. 114 8.2 Flot sur un cercle P. 115 8.3 Flot sur la sphère S2 P. 117 8.4 Flot sur la sphère Sn P. 119 8.5 Flot sur le tore P. 121 8.6 Thème d'étude : le pendule P. 129 Chapitre 9. Bifurcations locales P. 129 9.1 Introduction P. 130 9.2 Stabilité structurelle des équilibres P. 133 9.3 Bifurcations locales en dimension 1 P. 137 9.4 Bifurcations locales en dimension supérieure à 1 P. 141 Chapitre 10. Systèmes à temps discret : équilibres et cycles P. 141 10.1 Introduction P. 142 10.2 Notions de base P. 144 10.3 Équilibres P. 152 10.4 m-cycles P. 155 10.5 Exposant de Liapounov P. 157 10.6 Autres notions P. 159 Chapitre 11. Introduction au chaos en temps continu P. 159 11.1 Ensembles-limites en dimension 2 P. 168 11.2 Théorème de Poincaré-Bendixson P. 170 11.3 Introduction au chaos P. 179 Chapitre 12. Introduction au chaos en temps discret P. 180 12.1 Les équilibres de la suite logistique pour r > 0 P. 184 12.2 Les cycles de la suite logistique pour 3 < r </= 4 P. 191 12.3 Le chaos dans un système à temps discret P. 197 Chapitre 13. Annexes P. 197 Annexe 1 : Systèmes et mécanique céleste P. 199 Annexe 2 : Topologie et autres structures P. 207 Annexe 3 : Théorème de Cauchy et déterminisme P. 210 Annexe 4 : Réduction des endomorphismes P. 215 Annexe 5 : Deux compléments mathématiques P. 219 Annexe 6 : Fractales P. 225 Annexe 7 : Schéma numérique P. 227 Chapitre 14. Corrigés des exercices et problèmes P. 269 Bibliographie P. 271 Index