Bibliogr. p. [447]-459. Index

P. vii Préface P. xi Avant-propos P. 1 Chapitre 1. Introduction P. 1 1.1. Un peu d'histoire P. 7 1.2. Quelques exemples de systèmes linéaires P. 7 1.2.1. Flexion de poutre chargée P. 10 1.2.2. Équation de Poisson P. 11 1.2.3. Chute des corps P. 12 1.2.4. Modèle cinématique d'un robot P. 14 1.2.5. Gestion d'un stock en achat-vente P. 16 1.3. Formalisme matriciel et notations P. 18 1.4. Exercices supplémentaires P. 26 1.5. Corrigés des exercices P. 37 Chapitre 2. Résolution exacte des systèmes linéaires P. 37 2.1. Existence et unicité de la solution P. 39 2.2. Résolution des systèmes compatibles P. 39 2.2.1. Systèmes de Cramer P. 41 2.2.2. Notion d'inverse généralisée P. 42 2.2.3. Calcul itératif d'une inverse généralisée P. 43 2.2.4. Solutions d'un système compatible P. 44 2.2.5. Équations simultanées P. 46 2.3. Équations matricielles P. 46 2.3.1. Équations de décomposition P. 50 2.3.2. Équations de Sylvester P. 54 2.3.3. Équation de Sylvester généralisée P. 59 2.4. Systèmes contraints P. 59 2.4.1. Appartenance à un sous-espace vectoriel P. 61 2.4.2. Solutions de norme euclidienne minimale P. 62 2.4.3. Systèmes linéaires en variables entières P. 64 2.4.4. Inéquations linéaires P. 69 2.5. Exercices supplémentaires P. 74 2.6. Corrigés des exercices P. 87 Chapitre 3. Solutions approchées P. 90 3.1. Moindres carrés simples P. 90 3.1.1. Solution générale P. 91 3.1.2. Utilisation de la pseudo-inverse P. 93 3.1.3. Moindres carrés contraints P. 94 3.2. Moindres carrés totaux P. 95 3.2.1. Interprétation géométrique P. 97 3.2.2. Approximation de Schmidt P. 99 3.2.3. Solution au sens des moindres carrés totaux P. 103 3.2.4. Problème mixte P. 105 3.3. Moindres valeurs absolues P. 106 3.3.1. Approximation MVA P. 110 3.3.2. Approximation minimaux P. 118 3.4. Exercices supplémentaires P. 122 3.5. Corrigés des exercices P. 145 Chapitre 4. Résolution numérique directe P. 146 4.1. Sensibilité d'un système linéaire P. 147 4.1.1. Conditionnement d'un système linéaire P. 152 4.1.2. Amélioration du conditionnement P. 154 4.1.3. Sensibilité dans un cadre général P. 156 4.2. Traitement des systèmes triangulaires P. 160 4.3. De Gauss à LU P. 160 4.3.1. Élimination de Gauss P. 165 4.3.2. Factorisation LU P. 169 4.3.3. Algorithme direct de factorisation LU P. 171 4.3.4. Cas des matrices symétriques P. 174 4.4. De QR à SVD P. 174 4.4.1. Factorisation QR P. 178 4.4.2. Factorisation SVD P. 181 4.4.3. Décomposition SVD généralisée P. 185 4.5. Algorithmes par bloc P. 185 4.5.1. Factorisation LU par blocs P. 186 4.5.2. Factorisation QR par blocs P. 189 4.6. Exercices supplémentaires P. 195 4.7. Corrigés des exercices P. 215 Chapitre 5. Résolution numérique itérative P. 217 5.1. Méthodes par décomposition P. 217 5.1.1. Principe P. 219 5.1.2. Utilisation de la positivité P. 220 5.1.3. Méthode semi-itérative de Tchebychev P. 223 5.1.4. Relaxation P. 225 5.1.5. Méthodes usuelles P. 231 5.1.6. Cas des systèmes tridiagonaux P. 232 5.1.7. Systèmes singuliers P. 233 5.2. Méthodes de transformations orthogonales P. 235 5.2.1. Algorithme de Cimmino P. 237 5.2.2. Algorithme de Kaczmarz P. 244 5.2.3. Algorithmes par blocs P. 246 5.2.4. Traitement d'un système d'inégalités P. 247 5.3. Méthodes du gradient P. 249 5.3.1. Méthode du gradient à pas variable P. 251 5.3.2. Méthode du gradient conjugué P. 257 5.4. Méthodes de Krylov P. 258 5.4.1. Construction de Vk P. 259 5.4.2. Détermination de z(k) P. 260 5.4.3. Méthodes normales P. 261 5.5. Traitement des moindres valeurs absolues P. 262 5.5.1. Algorithmes de Coleman-Li P. 264 5.5.2. Algorithme de Ruzinsky-Olsen P. 266 5.6. Exercices supplémentaires P. 274 5.7. Corrigés des exercices

P. 313 Chapitre 6. Quelques applications en ingénierie P. 313 6.1. Commande des convertisseurs P. 317 6.2. Commande des systèmes dynamiques P. 317 6.2.1. Analyse de stabilité P. 318 6.2.2. Poursuite de signal P. 320 6.2.3. Observation d'une fonction linéaire de l'état P. 325 6.3. Systèmes de Vandermonde P. 330 6.3.1. Systèmes simples P. 336 6.3.2. Systèmes confluents P. 337 6.4. Classement des pages Internet P. 338 6.4.1. Principe du classement P. 339 6.4.2. Classement par PageRank P. 342 6.4.3. Classement par HITS P. 342 6.5. Analyse procustéenne P. 344 6.5.1. Transformation orthogonale P. 345 6.5.2. Transformation affine P. 347 6.6. Reconnaissance de formes P. 347 6.6.1. Droites P. 352 6.6.2. Coniques P. 354 6.7. Régression linéaire récursive P. 357 6.7.1. Suppression des données les plus anciennes P. 357 6.7.2. Ajout des données les plus récentes P. 358 6.7.3. Algorithme adaptatif P. 359 6.8. Exercices supplémentaires P. 364 6.9. Corrigés des exercices P. 383 Annexe A. Aide-mémoire de calcul matriciel P. 383 A.1. Notations P. 385 A.2. Opérations simples P. 390 A.3. Transformation linéaire P. 391 A.3.1. Image et noyau P. 392 A.3.2. Similitude et équivalence P. 392 A.3.3. Factorisation de Smith P. 395 A.3.4. Factorisation de rang maximal P. 397 A.4. Trace et déterminant P. 397 A.4.1. Trace P. 397 A.4.2. Déterminant P. 400 A.5. Inversion P. 402 A.6. Projections P. 404 A.7. Polynômes annulateurs P. 404 A.7.1. Polynôme caractéristique P. 407 A.7.2. Polynôme minimal P. 408 A.8. Formes canoniques P. 408 A.8.1. Forme de Jordan P. 411 A.8.2. Formes normales des matrices P. 412 A.9. Décomposition en valeurs singulières P. 416 A.10. Inverses généralisées P. 420 A.11. Normes de matrices P. 423 A.12. Matrices signées P. 423 A.12.1. Matrices non négatives P. 424 A.12.2. Matrices positives P. 425 A.12.3. Matrices irréductibles P. 426 A.12.4. Matrices primitives P. 427 A.12.5. Matrices stochastiques P. 429 A.12.6. M-matrices, matrices de Hurwitz et de Schur P. 430 A.13. Dérivation P. 433 Annexe B. Aide-mémoire Scilab P. 433 B.1. Introduction P. 433 B.1.1. Démarrage P. 434 B.1.2. Instructions utiles et sauvegardes P. 435 B.2. Matrices P. 435 B.2.1. Définition des matrices P. 436 B.2.2. Génération automatique de matrices P. 438 B.3. Opérations et fonctions de matrices P. 438 B.3.1. Opérations sur les composantes P. 439 B.3.2. Opérations matricielles P. 439 B.3.3. Fonctions de matrices P. 440 B.4. Matrices et espaces vectoriels P. 440 B.4.1. Image et noyau d'une matrice P. 440 B.4.2. Projections P. 440 B.4.3. Normes P. 441 B.4.4. Rayon spectral P. 441 B.4.5. Conditionnement P. 441 B.5. Les programmes Scilab P. 441 B.5.1. Scripts et fonctions P. 442 B.5.2. Boucles et instructions conditionnelles P. 447 Bibliographie P. 461 Index