Ce livre s'adresse pour sa majeure partie aux étudiants de licence (L2, L3) en mathématiques et/ou physique ainsi qu'aux élèves des grandes écoles scientifiques et techniques. Il peut également être utile à des étudiants plus avancés : CAPES, agrégation, master de mathématiques (M1, M2). On y trouve seize chapitres intitulés : Généralités, Produit extérieur, Différentielle extérieure, Formes fermées et formes exactes, Intégration des formes différentielles, Transposée des formes différentielles, Bord d'un simplexe et d'une chaîne, Théorème de Stokes-Cartan, Intégration des fonctions holomorphes, Formes symplectiques, Calcul variationnel, Formes différentielles sur les surfaces de Riemann, Exercices résolus, Appendice 1 (intégrales multiples), Appendice 2 (variétés différentiables), Appendice 3 (démonstration de quelques théorèmes), une bibliographie et un index. De nombreux exemples et exercices avec solutions se trouvent disséminés dans le texte 4ème de couverture

Bibliogr. p. [259]-260. Index

P. 7 1 Généralités P. 7 1.1 Formes différentielles de degré 1 P. 8 1.2 Formes différentielles de degré 2 P. 11 1.3 Formes différentielles de degré k P. 13 2 Produit extérieur P. 13 2.1 Définition et propriétés P. 14 2.2 Exemples P. 17 3 Différentielle extérieure P. 17 3.1 Définition et propriétés P. 21 3.2 Exemples d'opérateurs classiques P. 27 4 Formes fermées, formes exactes P. 27 4.1 Formes différentielles fermées et formes différentielles exactes P. 30 4.2 Lemme ou théorème de Poincaré P. 35 4.3 Facteur intégrant, équation exacte et groupe de cohomologie P. 41 5 Intégration des formes différentielles P. 41 5.1 Intégration sur un simplexe ou sur un chemin P. 46 5.2 Intégration sur une chaîne P. 51 6 Transposée des formes différentielles P. 51 6.1 Définition et exemple P. 52 6.2 Propriétés P. 59 7 Bord d'un simplexe et d'une chaîne P. 59 7.1 Bord d'un simplexe P. 61 7.2 Bord d'une chaîne P. 61 7.3 Groupes d'homologie P. 63 8 Théorème de Stokes-Cartan P. 63 8.1 Formule de Stokes-Cartan P. 67 8.2 Cas particuliers P. 67 8.2.1 Formule de Green-Riemann P. 67 8.2.2 Formule de Stokes-Ampère P. 68 8.2.3 Formule de Gauss-Ostrogradski P. 69 9 Intégration des fonctions holomorphes P. 69 9.1 Fonctions holomorphes P. 75 9.2 Intégration des fonctions holomorphes P. 93 10 Formes symplectiques P. 93 10.1 Espaces vectoriels symplectiques P. 95 10.2 Formes symplectiques sur une variété différentiable P. 105 ## 11 Calcul variationnel P. 105 11.1 Equation d'Euler-Lagrange et équations canoniques de Hamilton P. 114 11.2 Equation d'Hamilton-Jacobi P. 123 12 Formes différentielles sur les surfaces de Riemann P. 124 12.1 Différentielles abéliennes et relations bilinéaires de Riemann P. 141 12.2 Le théorème de Riemann-Roch et la formule de Riemann-Hurwitz P. 142 12.3 Le théorème d'Abel et le problème d'inversion de Jacobi P. 145 13 Exercices P. 145 13.1 Exercices résolus P. 198 13.2 Exercices proposés P. 209 14 Appendice 1 (intégrales multiples) P. 209 14.1 Théorème de Fubini P. 218 14.2 Changement de variables P. 223 15 Appendice 2 (variétés différentiables) P. 223 15.1 Définitions et propriétés P. 233 15.2 Sous-variétés P. 237 16 Appendice 3 (démonstration de quelques théorèmes) P. 237 16.1 Théorèmes de Riemann-Roch et de Riemann-Hurwitz P. 246 16.2 Théorèmes d'Abel et de Jacobi P. 259 Bibliographie P. 261 Index